ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ
Числа Фибоначчи являются давним предметом исследований математиков и даже предметом развлечения. Когда-то, еще в школе, я тоже увлекался этим забавным объектом. Как и все мои подобные изыскания, формулы, которые я выводил для чисел Фибоначчи, я записывал в специальную тетрадь.
На этой странице представлены выписки из той тетради. Возможно, кому-то кроме меня это тоже будет интересно...
Начать надо с того, что ряд Фибоначчи - это ряд, образованный числами, каждое из которых вычисляется на основе предыдущих. В общем случае:
Ns(n) = Ns(n-1) + Ns(n-1-s)
Где s - "длина охвата", а n - порядковый номер числа в ряду (N), а s≥0.
При этом принимается, что Ns(1)=1, а все N для n<1 равны 0.
При s=0 ряд является фактической степенью двойки:
N = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,...
При s=1 мы имеем обычный ряд Фибоначчи, в котором каждое следующее число является суммой двух предыдущих:
N = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...
При s=2 это сумма предыдущего и отстоящего на 2 позиции:
N = 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41,...
При s=3 это сумма предыдущего и отстоящего на 3 позиции:
N = 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 14, 19, 26, 36, 50, ...
Числа и сами ряды обладают интересными свойствами. Собственно говоря, "числами Фибоначчи" часто называют не сами числа в ряду (тут просто название "ряд Фибоначчи"), а числа, являющиеся пределом отношения соседних чисел в ряду:
Ns(n+1)
Fs = lim ---------
n→∞ Ns(n)
Этот предел конечен и вполне определяем. Значения F вычисляются из уравнения: "Fss+1 - Fss - 1 = 0"
Для s=0 получится "F01 - F00 - 1 = 0", откуда F0=2 (что очевидно).
Для s=1 получится квадратное уравнение: "F12 - F11 - 1 = 0". Положительным корнем этого уравнения является самое известное число Фибоначчи ("Золотое сечение"):
_
1+\/5
F1 = ----- = 1.618034
2
Для s=2 получается кубическое уравнение: "F23 - F22 - 1 = 0". Действительный корень этого уравнения есть число "1.465571", которое чисто аналитически вычисляется так:
__________ __________
3 / __ 3 / __
\/116+12*\/93 + \/116-12*\/93 + 2
F2 = ---------------------------------
6
Как известно, аналитические методы решения существуют для уравнений степени не выше 4. Для вычисления F3 имеем уравнение 4-й степени: "F34 - F33 - 1 = 0".
Искомый корень F3=1.380277569. Его аналитическое выражение уже не умещается в одну формулу.
_______________ _______________
3 / _______ 3 / _______
y = \ / \/283/108 + 1/2 - \ / \/283/108 - 1/2
\/ \/
____________________
____ / ____ ____
F3 = (1 + \/1-4y + \/2+4y+2\/1-4y +8\/y2+4 )/4
Числа Фибоначчи имеют достаточно широкое применение, но об этом в интернете материалов много. Я разместил тут только то, что когда-то выводил сам.
В ту эпоху не было ни интернета, ни бытовых компьютеров. Все выкладки и выводы делались вручную на бумаге, а вычисления проводились на инженерных калькуляторах.