БЕСКОНЕЧНЫЙ КОРЕНЬ

Эта задача тоже из моей старой тетради еще школьных времен. Я любил выводить формулы в физике и математике, потому что это занятие было и увлекательным, и часто практически полезным. Одной из встретившихся мне тогда задач был т.н. "бесконечный корень". Вообще "игры с бесконечностью" сами по себе очень интересны и познавательны. Ведь человеку трудно воспринять бесконечное...

Данная задача, собственно говоря, и задачей не является. Просто есть бесконечный ряд:

        _________________
       /     ____________
      /     /     _______
m = \/x + \/x + \/x + ...    (1)

Вопрос в том, чему равно значение m? Как это узнать? Когда смотришь на этот ряд, то вообще нет уверенности, что он сходится к конечному числу. Ведь ряды в математике бывают сходящиеся, а бывают и нет, причем тоже по-разному. Данный ряд кажется бесконечно растущим, не так ли? Но это не так.

Так как же посчитать значение m в зависимости от x? То есть, чему равно m(x) в общем случае? Для этого надо представить этот ряд в несколько иной форме.

Если считать, что
          _
m = x + \/x, то что будет на следующем шаге? Очевидно, что это m нужно сложить с x и поставить под корень. И тоже получится m! Ведь ряд же бесконечный?

В результате мы получим выражение:
       ___
m = \/x+m, которое нужно решить относительно m. Очевидно, что возведя обе части в квадрат, мы получим уравнение m²=x+m

Квадратное уравнение, как известно, имеет два корня. В нашем случае только один из них будет нужным:

        ____
    1+\/1+4x
m = --------    (2)
       2

Понятно, что минус перед корнем даст неверный результат (m не может быть отрицательное!). Аналогично, отрицательные значения x тоже приведут к невозможности вычислить результат на множестве действительных чисел. Но интересно вот что!

А если x будет отрицательным, но меньше одной четверти? Если он строго равен "-1/4", то m="1/2". Но если он равен, например, "-8/9", что тогда? Тогда согласно полученной формуле (2) значение m="2/3". А если вспомнить про второе значение m из уравнения (2), которое мы отбросили? Если брать его (с минусом перед корнем), то получим m="1/3".

Но ведь в формуле (1) значения корней тоже могут быть отрицательными! Что тогда? Тогда формула (2) превращается в формулу (3):

         ____
    -1+\/1+4x
m = ---------    (3)
        2

С учетом всех этих вариантов полученных результатов становится достаточно много. Я приведу тут несколько примеров значений m(x) для формулы (2) и для положительных целых x. Например:
m(1)=F₁ (см. страницу "Числа Фибоначчи")
m(2)=2 (что само по себе интересно!)
m(6)=3
m(12)=4
m(20)=5

Видите закономерность? Если нет - поищите, она легко заметна!

А теперь еще интересный момент. Вы заметили, что для дробных отрицательных x меньших "1/4" формула дает нормальный результат? Но ведь в формулу (1) подставлять отрицательные числа невозможно, там же корни! И вот тут вступает в силу бесконечность ряда. Да, вы не можете вычислить корень из "-1/4", но корень из выражения "-1/4+1/2" вычислить можно! Но таким оно становится только если формула (1) действительно бесконечна! Иначе говоря, невозможно для отрицательных чисел численно по программе вычислить m так же, как для положительных x (а я проверял, вычислял по формуле (1) приведенные выше значения: все сходится!).

А если перейти в сферу комплексных чисел? А если...

Формула (2) дает формальный результат. Формула (3) тоже. А вот вычисления по формуле (1) для достаточно большого количества вложений корня результат дают точный. Но не всегда это возможно вычислить!

В этом красота математики: иногда невозможное "по шагам" становится возможно "в итоге". Но тут бывают и опасности, когда итоговая формула перестает действовать в частных случаях. Действует ли она здесь всегда, на всех множествах и на всех вариантах? Если вам интересно - исследуйте этот вопрос сами! Математика - наука волшебная... :)